对称加密算法
（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密； （2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。
由于加密和解密使用同样规则（简称 " 密钥 "），这被称为 " 对称加密算法 "（Symmetric-key algorithm）。
非对称加密
（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。 （2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。 （3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。
例子：故剑情深 汉宣帝（乙方）下诏寻找一把旧时用过的剑 公钥：表面的意思 。有细心的大臣（甲方）看到诏书（获取公玥），明白宣帝是想立许平君为皇后，于是连夜写了一封奏表，劝立许平君（用公钥进行加密大臣的奏表）。宣帝看到奏表后，（用私钥 宣帝真实的想法 解密）知道这个大臣已经明白了他的意思。宣帝把奏表批阅后发还大臣，大臣确认自己和皇帝的想法一致，知道这事有谱了。 宣帝：公玥，私钥 -> 客户端 大臣：公玥 -> 主机
互质关系
最大公约数为 1
欧拉函数
任意给定正整数 \(n\)，请问在小于等于\(n\) 的正整数之中，有多少个与 \(n\) 构成互质关系？（比如，在 1 到 8 之中，有多少个数与 8 构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以 \(\varphi(n)\) 表示。
- \(n = 1\), \(\varphi(1) = 1\)
- 如果 \(n\) 是质数，则 \(\varphi(n) = n - 1\) ，因为质数与小于它的每个数都是互质关系
- 如果 \(n\) 是质数的某个次方，即 \(n = p^k\)，则 \[\varphi\left(p^{k}\right)=p^{k}-p^{k-1}=p^{k}\left(1-\frac{1}{p}\right) \]
- 如果 \(n\) 可以分解成两个互质的整数 \(p_1, p_2\) 之积 \[\varphi(n) = \varphi(p_1 p_2) = \varphi(p_1) \varphi(p_2) \]
- 大于 1 的整数都可以写成一系列质数的积。 \[n=p_{1}^{k 1} p_{2}^{k 2} \dots p_{r}^{k r} \] \[\varphi(n)=\varphi\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \varphi\left(p_{2}^{k_{2}}\right) \ldots \varphi\left(p_{r}^{k_{r}}\right) \] \[\varphi(n)=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k 2} \ldots p_{r}^{k r}\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \dots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right) \] \[\varphi(n)=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right) \]
欧拉定理
模反元素
密钥生成的步骤
如何下诏？
- 随机选择两个不相等的质数 \(p\) 和\(q\)
- 计算 \(p, q\) 的乘积 \(n\)，\(n\) 转成二进制的长度就是密玥长度
- 计算 \(n\) 的欧拉函数\(\varphi(n)\)
- TODO: 坑啦，太难了，回头写 -